如果拋硬幣，正面贏，反面輸，1賠1（不含本金1），連續4次，要怎麼下注才能既不破產，又能使收益最大化？

情況1：第一次就全部下注，有可能第1次就輸完了，就沒有第2次了；

狀況2：每次下注10%，那4次最多也就賺40%，還有60%的閒置資金，資金沒有充分利用；

狀況3：每次下注原金額的25%，如果4次全輸，那就沒有第5次了。

此時引入凱利公式：

F =（bp-q）/ b

（b=win/loss）

在公式中，各參數意義為：

F = 每次下注的比例

p = 獲勝的機率（硬幣正面的機率）

q = 失敗的機率，即（1-p）（硬幣反面的機率）

b = 賠率，獲利/虧損（獲利不包括本金）

分析：在本案例中：因為是拋硬幣，所以正反面的機率都是50%，p=50%，q=50%，因為押1元賠1元（獲利為1元），因此

b=1/1=1

f*=(1x0.5-1x0.5)/1=0=0%

所以，拋硬幣這種遊戲應該下注的比例是0，也就是說這個遊戲是不值得玩的，事實證明也是如此，國家禁止賭博，賭博是犯罪行為。

再來看看六合彩的遊戲

49選1，中了贏40倍，沒中虧1，那我們來算一下：

p=1/49 中的機率

q=48/49 虧的機率

b=40/1 賠率

F=(40x1/49-48/49)/40=-0.41%（負的）

結果是負的！這就說明，長期下註註定要虧，這時候應該去坐莊才是賺錢的方法。

以上兩件事，是我們最常見的賭博遊戲，莊家可以暗地操縱機率，從而使玩家快速獲利，也可以讓玩家快速虧光。

那麼在股票裡面要怎麼算呢？

假設某量化策略10%止盈，10%停損，成功率和失敗率都是50%，（有沒有感覺和拋硬幣很像）。代入以上公式，一樣可以得到

b=10%/10%=1

F=(1x0.5-1x0.5)/1=0=0%

結果證明，本質上和拋硬幣一樣，有太多人在做這樣的事了！

有人說，我只賺10%，永遠不止損，那你有沒有考慮到，如果遇到長生生物那樣退市，那就不會有下次了。

巴菲特對於凱利公式的優化

在《巴菲特的投資組合》中，巴菲特簡化了投資公式，讓我們來一起驗證：

2Ｐ-1＝Ｘ

Ｐ＝成功的機率

Ｘ＝投入的資金百分比

巴菲特的公式顯得簡單了許多，在翻硬幣的例子中，2x0.5-1=0；在六合彩的例子中1/49*2-1=-0.96=-96%，結果差異很大，但同樣是負的，不值得參與。

兩個公式的簡單比較

假設某量化投資中，10%止盈，5%停損，成功率50%：

1）凱利公式F=(2*0.5-1*0.5)/2=25%

2）巴菲特公式：無法計算

假設某量化投資中，5%停盈，5%停損，成功率51%，失敗率49%：

1）凱利f*=(1*0.51-1*0.49)/1=2%

2）巴菲特公式=2*0.51-1=2%

由以上看出，只有當成功率大於50%的時候，兩個公式可以起到類似的作用，而巴菲特的公式更簡單。

期望值：賠率和成功率

學過機率論的人都知道，實際上凱利公式的分子部分，就是二項分佈的期望值的公式E(X)=bp-q，只有當這件事期望值為正的時候，做這項投資才有意義，否則大機率就是在送錢給別人。 （這段看不懂的可以略過）

尋找高賠率

何為高賠率？投入1元錢，能產出10元錢，最大虧損1元錢，這種事情現實生活中有沒有？有！例如在疫情期間，某公司花100萬，買了一台自動口罩機，能產出淨利1100萬，賠率達到10倍，當然這是理想狀態。正常情況下，潛在的賠率與事情實現的機率/程度呈負相關，如下4個例子。

1）市場缺貨的商品，供不應求，如口罩、豬肉；

2）就算沒有供不應求，但需求穩定，持續成長，如醬油、榨菜、化妝品；

3）現在沒什麼需求，但未來市場空間廣闊，如特斯拉、5G、VR、人工智慧、無人駕駛；

4）新技術還不能應用，如超級電容、石墨烯超導。

產品越是新創期，它潛在的賠率也會越高，同樣失敗率也會更高。很明顯，口罩、豬肉的賠率遠遠要小於石墨烯的賠率，而口罩、豬肉的供不應求早已成為事實，賠率只會進一步降低，而石墨烯的研發還遙遙無期，所以成功率，鬼知道呢。

但是，隨著時間的推移，技術的不斷進步，機率也在發生變化，例如獲得國家的支持，會使得這項技術的成功率大大提升，所以大家很喜歡有政策扶持的公司。而2019年，具備潛在高賠率的科技公司，由於MYZ被特不靠譜攻擊而獲得國家大力支持的情況下，就催生了2019年的一波科技大牛。

尋找高成功率

有人說高成功率很難，所以大部分人熱衷於抄底，因為買在一個低價的位置，能使成功率大大提升，所以當3000點跌到2500點的時候，很多原本不炒股的人，也抱著錢來抄底。

成功率簡單來講，叫獲勝的機率。從心裡的角度來講，叫作把握。把握是伴隨著經驗而來的，是主觀的判斷。而事件在尚未發生之前，誰都無法預測，所以就催生了股價的隨機漫步理論。

但如果把時間拉長，持續獲利的公司，因為其內在價值不斷提升，具備更高的股價持續上漲的能力。所以業績穩定成長的消費股，在只能做多的中國市場，是非常不錯的選擇。況且，消費股的抗風險能力很強，存活能力很強，百年老店裡面大部分都是消費股。而銀行在漫長的歲月中，要經歷多次的金融危機，可能要破產好幾次。 （當然，在可以做空的市場，做空連續穩定虧損的企業，也是非常優秀的選擇。）

在眾多方法中，套利是最古老的成功率最高的方法。套利分為四種：

1）跨區域套利：中國的口罩拿到美國賣

2）跨時間套利：82年的拉菲，繼續收藏到2050年

3）跨品種套利：買美國大豆，壓榨出豆油和豆粕到中國賣

4）跨成本套利：去香港貸款到大陸買理財

在股市裡面，跨成本套利的體現在假設銀行貸款成本5%，那麼買進一隻淨資產收益率ROE12%的公司，假設股價跟隨ROE上漲，那麼理論上可以收穫7%的收益。如果買進穩定付息的某企業債券，或是穩定分紅的某房地產REITs，風險會更低。當然，因為風險小，所以收益也低。高ROE，實際上是一項股價穩定上漲的保證。

還有就是國家政策扶持，這個上文說過了。

最厲害的當屬定投，約等於無限資金模型，擁有無限資金，永不破產，直到盈利為止，當然前提是，不要退市，買指數可以做到這一點。雖然成功率高，但收益率也大大折扣。

總結

凱利公式告訴我們，拋硬幣的賭局是不能參加的，六合彩也是不能玩的。投資必須要結合機率和賠率，雖然不能簡單地直接應用，但是它告訴我們，在投資決策中，要考慮賠率與機率，不可孤注一擲，滿倉All in，只要破產出局，以後所有的機率都= 0。

最後記住這個公式：

F =（bp-q）/ b

（b=win/loss）